Математическое ожидание (Expectation value) Скачать в PDF
Синонимы: Ожидаемое значение, Expected value
Разделы: Метрики
Loginom: Статистика (визуализатор)
Среднее значение случайной величины, полученное при бесконечном числе испытаний, в результате которых она определяется, или по выборке бесконечного размера. Если для каждого значения, принимаемого случайной величиной известна его вероятность , то ее математическое ожидание будет равно сумме произведений каждого значения на его вероятность:
.
Если случайная величина является непрерывной, то вместо суммы будет использоваться интеграл, а вместо вероятности — ее плотность.
Математическое ожидание является одним из важнейших понятий теории вероятности, поскольку может служить в качестве усредненной оценки случайной величины. С его помощью можно прогнозировать оценку значения некоторого случайного признака при наличии достаточно большого числа наблюдений.
Основные свойства:
- Математическое ожидание константы равно самой этой константе: , где .
- Математическое ожидание линейно, то есть: , где — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а — произвольные константы.
- Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если и — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины также конечно, и более того: .
- Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если , то: .
- Математическое ожидание произведения двух независимых или некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .
Математическое ожидание иногда называют «центром тяжести» распределения случайной величины. Фундаментальным свойством математического ожидания является то, что среднее значение любой случайной величины при увеличении числа ее наблюдений будет стремиться к своему математическому ожиданию.
В отечественной литературе математическое ожидание обозначают , иногда , а в зарубежной — .