Теория множеств (Set theory) Скачать в PDF

Теория множеств — это раздел математической логики, который изучает множества. В математике множество — это совокупность отдельных объектов, рассматриваемая как объект сам по себе.

В основе теории множеств лежит фундаментальное бинарное отношение между объектом $x$ и множеством $X$: если $x$ является элементом $X$, то используется обозначение $x\in X$. Поскольку множества сами являются объектами, отношение принадлежности также может относиться ко множествам.

Бинарное отношение между двумя множествами является отношением подмножеств, также называемым включением множества. Если все элементы множества $X$ также являются элементами множества $Y$, то $X$ является подмножеством $Y$, обозначается $X⊑Y$. Как следует из этого определения, множество является подмножеством самого себя.

Объединение множеств $A$ и $B$, обозначаемое $A\cup B$, представляет собой множество всех объектов, которые являются элементами $A$, или $B$, или их обоих. Например, объединение $A=\{1,2,3\}$ и $B=\{2,3,4\}$ это множество $C=\{1,2,3,4\}$.

Пересечение множеств $A$ и $B$, обозначенное $A\cap B$, является множеством всех объектов, которые являются элементами как $A$, так и $B$. Например, пересечение множеств $A=\{1,2,3\}$ и $B=\{2,3,4\}$ это множество $C=\{2,3\}$.

Разность множеств $U$ и $A$, обозначаемая $U\setminus A$, представляет собой множество всех элементов $U$, которые не являются элементами $A$. Разность множеств $U=\{1,2,3\}\setminus A=\{2,3,4\}$ будет $C=\left\{1\right\}$, в то время как, наоборот, разность множеств $A=\{2,3,4\}\setminus U=\{1,2,3\}$ будет $C=\left\{4\right\}$. Когда множество $A$ является подмножеством $U$, разность множеств $U\setminus A$ также называется дополнением к $A$ в $U$.

Симметрическая разность множеств $A$ и $B$, обозначаемая $A△B$, представляет собой набор всех элементов, которые являются элементами только одного множества $A$ или $B$ (элементов, которые принадлежат одному множеству, но не обоим). Например, для множеств $A=\{1,2,3\}$ и $B=\{2,3,4\}$симметрическая разность равна $C=\{1,4\}$. Это разность объединения и пересечения множеств, $(A\cup B)\setminus (A\cap B)$ или ($A\setminus B\cup B\setminus A$).

Декартово произведение множеств $A$ и $B$, обозначаемое $A\times B$, представляет собой множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары $\{a,b\}$, где $a$ является элементом $A$, а $b$ — элементом $B$. Декартово произведение $A=\{1,2\}$ и $B=\{red,white\}$ будет $C=\{(1,red),(1,white),(2,red),(2,white)\}$.

Мощностью множества $A$ является множество, элементами которого являются все возможные подмножества $A$. Например, мощность множества $A=\{1,2\}$ равно $B=\{\left\{\right\},\left\{1\right\},\left\{2\right\},\{1,2\}\}$.

Важными частными случаями множеств являются пустое множество (не содержащее элементов), а также множества натуральных и действительных чисел.

Основы теории множеств были заложены в работах Георга Кантора в 1874 году.