Теория множеств (Set theory)

Теория множеств — это раздел математической логики, который изучает множества. В математике множество — это совокупность отдельных объектов, рассматриваемая как объект сам по себе.

В основе теории множеств лежит фундаментальное бинарное отношение между объектом и множеством : если является элементом , то используется обозначение . Поскольку множества сами являются объектами, отношение принадлежности также может относиться ко множествам.

Бинарное отношение между двумя множествами является отношением подмножеств, также называемым включением множества. Если все элементы множества также являются элементами множества , то является подмножеством , обозначается . Как следует из этого определения, множество является подмножеством самого себя.

Объединение множеств и , обозначаемое , представляет собой множество всех объектов, которые являются элементами , или , или их обоих. Например, объединение и это множество .

Пересечение множеств и , обозначенное , является множеством всех объектов, которые являются элементами как , так и . Например, пересечение множеств и это множество .

Разность множеств и , обозначаемая , представляет собой множество всех элементов , которые не являются элементами . Разность множеств будет , в то время как, наоборот, разность множеств будет . Когда множество является подмножеством , разность множеств также называется дополнением к в .

Симметрическая разность множеств и , обозначаемая , представляет собой набор всех элементов, которые являются элементами только одного множества или (элементов, которые принадлежат одному множеству, но не обоим). Например, для множеств и симметрическая разность равна . Это разность объединения и пересечения множеств, или ().

Декартово произведение множеств и , обозначаемое , представляет собой множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары , где является элементом , а — элементом . Декартово произведение и будет .

Мощностью множества является множество, элементами которого являются все возможные подмножества . Например, мощность множества равно .

Важными частными случаями множеств являются пустое множество (не содержащее элементов), а также множества натуральных и действительных чисел.

Основы теории множеств были заложены в работах Георга Кантора в 1874 году.

Результаты поиска по запросу «» ()

    Нет результатов поиска по запросу ""