Преобразование Фурье (Fourier transform) Скачать в PDF

Разделы: Алгоритмы

Преобразование Фурье — это интегральное преобразование, которое ставит в соответствие функции временной области функцию частотной области. Преобразование Фурье задается формулой:

$$\hat{f}\left(z\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f\left(u\right)e^{-izu}du.$$

Если функция $f\left(x\right)$ имеет конечное число скачков, монотонна на конечном числе промежутков и выполняется $\underset{x\to \pm \infty }{lim}f\left(x\right)=0$, то для всех $x$, за исключением конечного числа точек, существует обратное преобразование Фурье для функции $\hat{f}\left(u\right)$:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\hat{f}\left(z\right)e^{izx}dz.$$

Функция $\hat{f}\left(u\right)$ называется образом функции $f\left(x\right)$, а $f\left(x\right)$ — ее прообразом.

Обратное преобразование Фурье можно представить в виде двойного интеграла, называемого интегралом Фурье:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}dz\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f\left(u\right)e^{-i(x-u)z}du,$$

подынтегральная функция которой есть ни что иное, как преобразование Фурье. В связи с этим, различные авторы дают отличные от данного выше определения преобразования Фурье. Это связано с тем, что интеграл Фурье не меняет значения, если изменить знаки в степени экспоненты в прямом и обратном преобразовании на обратные, а коэффициенты перед преобразованиями задают такими, что их произведение равно коэффициенту перед интегралом Фурье.

Изначально преобразование Фурье было применено для решения задачи теплопроводности, для этого были разработаны методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнения такого типа широко распространены в природе, что привело к обширному изучению преобразования Фурье, в последующем были найдены множество свойств преобразования. Все это привело к расширению круга, как теоретических, так и практических вопросов, в которых применяется преобразование Фурье, таких как теория чисел, теория вероятности, статистика, физика, квантовая механика, широко применяется в электротехнике и радиотехнике.

В анализе данных преобразование Фурье применяется для сжатия и сглаживания данных. Возможность применения преобразования Фурье для сжатия данных основана на теореме Котельникова: любая функцию с ограниченным сверху спектром $f_{max}$ может быть восстановлена по отсчетам, следующим друг за другом менее, чем за $\frac{1}{2f_{max}}$.

В современной теории анализа данных также применяется вейвлет-преобразование, которое обобщает преобразование Фурье. Несмотря на это преобразование Фурье остается простейшим и важнейшим примером интегрального преобразование, на основе которой были разработаны новые и более современные методы.