Вейвлет-преобразование (Wavelet Transform)

Разделы: Алгоритмы

Loginom: Сглаживание (обработчик)

Вейвлет-преобразование - это метод преобразования данных к представлению, в котором они могут быть локализованы как по времени, так и по частоте, что открывает дополнительные возможности по их обработке.

Большинство данных, описывающих бизнес-процессы, имеет амплитудно-временное (или просто временное) представление в координатах время-значение. То есть данные представлены точками в системе координат, в которой по горизонтальной оси отсчитывается время (или иная независимая переменная), а по вертикальной - значение признака в данной временной точке.

Временное представление несёт в себе только часть информации о данных, которая может оказаться полезной при их анализе. Например, во временном представлении в сложно различить и обработать шумы или какие-то локальные особенности. Однако то, что "невидимо" во временном представлении, может быть хорошо различимо в других представлениях, например, частотном, которое позволяет применять к данным методы спектрального анализа.

Использование временного и частотного представления ограничено тем, что во временной области данные полностью локализованы по времени, но при этом отсутствует локализация по частоте, а в частотной области - наоборот. Поэтому преобразование, в области которого данные могли быть одновременно локализованы и по времени и по частоте (время-частотное преобразование) открывает дополнительные возможности по обработке данных. Именно эту проблему и решает вейвлет-преобразование.

Вейвлет-преобразование представляет собой разложение исходной функции в базис вейвлет-функции или просто вейвлета. Представляет собой интегральное преобразование вида:

,

где - исходная функция, - материнская вейвлет-функция, - параметр сдвига, который определяет положение вейвлета, - параметр растяжения, которое задаёт "ширину" вейвлета и определяет масштаб преобразования.

Как видно из последнего выражения, результат преобразования есть функция двух переменных и (растяжения и сдвига). Вейвлет называется материнским вейвлетом по следующей причине. С английского вейвлет переводится как "маленькая волна". Маленькой она названа потому, что имеет конечную ширину. А слово "волна" указывает на то, что вейвлет осциллирует. Таким образом, материнский вейвлет порождает целое семейство функций, имеющих разный сдвиг и ширину.

Таким образом, временная локализация вейвлет-преобразования обеспечивается сдвигом материнской вейвлет-функции, а частотная - параметром растяжения. Действительно, ширину базисной функции можно рассматривать как величину, обратную частоте - чем меньше ширина, тем больше частота.

Из спектрального анализа известно, что чем меньше детали сигнала, тем более высокочастотные составляющие спектра они порождают, и наоборот. Чем шире вейвлет-функция (т.е., чем ниже частота преобразования), тем более масштабные особенности данных можно исследовать. Чем меньше ширина вейвлета (что соответствует более высокой частоте), тем мельче детали в данных, которое "различает" вейвлет. Данный принцип лежит в основе кратномасштабного вейвлет-анализа.

Основное использование вейвлет-преобразования - сжатие данных, их сглаживание, очистка от шума.

Преимуществами вейвлет-преобразования являются:

  • хорошая локализация по времени и частоте;
  • широкое разнообразие базисных функций.

К недостаткам вейвлет-преобразования можно отнести:

  • сложность сопоставления результатов вейвлет-анализа, полученных на разных масштабах;
  • возможные искажения данных.

Работы, которые легли в основу теории вейвлетов и вейвлет-преобразования, были опубликованы в 1909 году венгерским математиком Альфредом Хааром. Современная теория вейвлет-преобразования была развита в 1980-1990-х Жаном Морле, Александром Гроссманом и Ингрид Добеши.

results matching ""

    No results matching ""