Автокорреляционная функция (Autocorrelation function)
Синонимы: АКФ, ACF
Разделы: Метрики
В анализе временных рядов автокорреляционная функция показывает степень линейной статистической связи между значениями временного ряда. Численно, автокорреляционная функция представляет собой последовательность коэффициентов корреляции между исходным рядом, и его копией, сдвинутой на заданное число интервалов ряда (это число называется лагом ):
,
где — число членов (уровней) временного ряда, — коэффициент корреляции.
При увеличении лага количестве элементов ряда, для которых вычисляется коэффициент корреляции, уменьшается. На практике, максимальный лаг не должен превышать четверти длины ряда, т.е. должно выполняться соотношение .
График зависимости коэффициента корреляции от лага называется коррелограммой. Она является эффективным инструментом исследования динамических свойств временных рядов.
Корреляционная функция максимальна при , когда ряд полностью коррелирован сам с собой. Поскольку значение коэффициента автокорреляция меняется от -1 до 1, то АКФ может принимать значения только из этого же диапазона.
Основное отличие временного ряда от случайного набора значений, зафиксированных в заданные, равноотстоящие моменты времени, является то, что значения членов ряда являются статистически зависимыми. Степень этой зависимости и определяется парным коэффициентом автокорреляции временного ряда.
Если на ряд действуют какие-либо долговременные внешне факторы, то это приводит к появлению в ряде трендов (тенденций) и циклической компоненты, которые и позволяет обнаруживать АКФ. По виду коррелограммы АКФ можно сделать следующие выводы.
Если выраженный максимум коррелограммы АКФ оказывается для лага , то временной ряд содержит циклическую компоненту с периодом .
Если коррелограмма АКФ имеет максимум при , то ряд содержит только тенденцию (тренд).
Если коррелограмма АКФ не имеет выраженных максимумов, то ряд не содержит тенденции и циклической компоненты, а в нём доминирует случайная составляющая. Так же это может говорить о том, что ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, которая не может быть выражена линейным коэффициентом корреляции:
Автокорреляционная функция является важнейшим элементом моделей прогнозирования временных рядов, поскольку используется для выявления особенностей их поведения (трендов, циклической и случайной компонент). Следовательно, в основе идеи прогнозирования может лежать предположение о том, что действующие в наблюдаемом периоде особенности поведения временного ряда, будут иметь место и в будущем.
Для того, чтобы оценить обоснованность такого предположения, можно использовать коррелограмму. Например, если коррелограмма представляет собой небольшие изменения относительно нуля, то ряд является случайным и закономерности, которые могли бы быть экстраполированы в будущее, отсутствуют.
Напротив, если элементы коррелограммы убывают линейно, то соответствующий временной ряд имеет «долговременную память», и присущие ему свойства и закономерности могут быть с успехом экстраполированы в будущее.
Кроме этого, автокорреляционная функция широко применяется при моделировании систем и процессов, циклы эволюции которых соответствуют её максимумам.