Модель авторегрессии скользящего среднего (ARIMA) Скачать в PDF

Синонимы: Модель Бокса-Дженкинса, АРИСС, Методология Бокса-Дженкинса, Autoregressive Integrated Moving Average, Box-Jenkins model

Разделы: Алгоритмы

Модель авторегрессии скользящего среднего и систематический подход к ее построению был предложен в 1970-х годах Джорджем Боксом и Гвилимом Дженкинсом. Она предназначена для анализа стационарных временных рядов на основе оценки линейной зависимости прогнозируемых значений от исторических.

Для использования модели временной ряд должен быть стационарным, т.е. его среднее и дисперсия должны быть постоянны.

Модель Бокса-Дженкинса предполагает, что временной ряд содержит три составляющие: авторегресионную, интегрированную и скользящее среднее, которые в модели обозначены $p$, $d$ и $q$ соответственно:

• Величина $p$ называется порядком авторегрессии. Она позволяет ответить на вопрос, будет ли очередной элемент ряда близок к значению $X$, если к нему были близки $p$ предыдущих значений.
• Величину $d$ называют порядком интегрирования. Она показывает, насколько элемент ряда близок по значению к $d$ предыдущим значениям, если разность между ними минимальна.
• Параметр $q$ — порядок скользящего среднего. Позволяет установить погрешность модели как линейную комбинацию наблюдавшихся ранее значений ошибок.

Авторегрессия — это составляющая модели временного ряда, в которой его прогнозируемое значение может быть выражено в виде линейной комбинации исторических значений этого же ряда и случайной ошибки.

Обычно модель упоминается, как $ARIMA(p,d,q)$, где $p$, $d$ и $q$ — целые неотрицательные числа, характеризующие порядок для частей модели (соответственно авторегрессионной, интегрированной и скользящего среднего).

Для временного ряда $X\left(t\right)$ модель может быть записана в виде:

$\left({\Delta }^d{X}_t\right)=\sum _{t=1}^p{a}_t\left({\Delta }^d{X}_{t-1}\right)+{\epsilon }_t+\sum _{j=1}^q{b}_j\left({\Delta }^d{\epsilon }_{t-j}\right)$,

где

• ${\Delta }^d$ — оператор разности порядка $d$ (последовательное взятие $d$ раз разностей первого порядка — сначала от самого ряда, затем от полученных разностей первого порядка, затем от второго порядка и т. д.);
• $a_t$ — коэффициенты авторегрессионной части модели, $\epsilon \left(t\right)$ — значения ошибки (полагаются независимыми одинаково распределенными случайными величинами из нормального распределения с нулевым средним);
• $b_j$ — коэффициенты скользящего среднего.

Существует также расширенная модель ARIMAX, которая учитывает внешние факторы при построении прогноза.

Модель Бокса-Дженкинса широко применяются при прогнозировании временных рядов. Основная задача при этом заключается в оценке параметров модели. Методология построения ARIMA-модели исследуемого временного ряда включает следующие основные этапы:

• построение пробной модели;
• оценивание параметров модели и проверка адекватности модели;
• использование модели для прогнозирования.

В Loginom модель ARIMA реализована как отдельный обработчик, который позволяет производить прогнозирование временных рядов. Временным рядом могут быть любые данные в разрезе времени, например, продажи товаров, количество заказов, поток клиентов и т.д.

Построение модели в Loginom для прогноза объема продаж сезонных товаров зимнего спорта по месяцам подробно описано в статье «Пример использования ARIMA для прогноза продаж».