Дисперсия (Variance) Скачать в PDF

Разделы: Метрики

Loginom: Статистика (визуализатор)

В статистике дисперсией называют величину, которая характеризует меру разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. В русскоязычной литературе дисперсия обозначается $D\left[X\right]$, а в англоязычной $var\left(X\right)$ (от англ. variance — дисперсия).

Пусть $X$ — случайная величина, определенная на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

$D\left[X\right]=M\left[\right(X-M\left[X\right]{)}^2]$,

где $M$ — математическое ожидание.

• Если случайная величина $X$ дискретная, то: $D\left[X\right]=\sum _{i=1}^n{p}_i(x_i-M[X]{)}^2$, где $x_i$ — $i$-ое значение случайной величины, $p_i$ — вероятность того, что случайная величина принимает значение $x_i$, $n$ — количество значений случайной величины.
• Если случайная величина $X$ непрерывна, то: $D\left[X\right]=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f\left(x\right)(x-M[X]{)}^{2}dx$, где $f\left(x\right)$ — плотность вероятности случайной величины.

Квадратный корень из дисперсии, обозначаемый $\sigma$, называется среднеквадратическим отклонением.

Свойства дисперсии:

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: $D\left[X\right]⩾0$;
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и ее математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то ее дисперсия равна нулю: $D\left[a\right]=0$.
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна: $D[X+Y]=D\left[X\right]+D\left[Y\right]+2\text{cov}(X,Y)$, где $\text{cov}(X,Y)$ — их ковариация.
• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство: $D\left[\sum _{i=1}^n{c}_i{X}_i\right]=\sum _{i=1}^n{c}_i^{2}D\left[X_i\right]+2\sum _{1⩽i<j⩽n}{c}_i{c}_j\text{cov}(X_i,X_j)$, где $c_i\in R$.

Дисперсия является одним из параметров нормального закона распределения. Чем больше дисперсия, тем более пологими являются «склоны» распределения и длиннее его «хвосты».

Чем выше дисперсия параметров модели (коэффициентов регрессии, значений переменных и т.д.), тем менее устойчивой она будет. Высокая дисперсия исходных данных позволяет предположить высокую значимость в них случайной компоненты, возможном наличии шума и аномальных значений.