Автокорреляция (Autocorrelation)

Разделы: Алгоритмы

Loginom: Автокорреляция (обработчик)

В математической статистике автокорреляцией называют меру статистической связи (корреляции) между функцией и ее копией, сдвинутой на некоторый интервал, называемый лагом.

В регрессионном анализе автокорреляция остатков регрессии может иметь место, если модель плохо согласуется с данными. Это происходит, если на зависимую переменную воздействуют факторы, неучтенные в модели.

В анализе данных автокорреляция широко используется для анализа и моделирования временных рядов и позволяет описывать динамические свойства временного ряда. Чем выше автокорреляция временного ряда, тем сильнее связаны его наблюдения. Для обнаружения автокорреляции во временных рядах используется критерий Дарбина-Уотсона.

Количественно автокорреляцию можно измерить с помощью коэффициента автокорреляции. Для временного ряда $X_1,X_2,...X_{n-L}$ и его копии $X_{1+L},X_{2+L},...X_n$, сдвинутой на лаг $L$, коэффициент автокорреляции вычисляется следующим образом:

$r_{t,t-L}=\frac{\overline{X_t{X}_{t-L}}-{\overline{X}}_t{\overline{X}}_{t-L}}{s_t{s}_{t-L}}$,

где:

${\overline{X_{t}X}}_{t-L}=\left(\sum _{t+L}^n{X}_t{X}_{t-L}\right)/(n-L)$;

$\overline{X_t}=\left(\sum _{t+L}^n{X}_t\right)/(n-L)$ — среднее значение исходного ряда;

$\overline{X_{t-L}}=\left(\sum _{t+L}^n{X}_{t-L}\right)/(n-L)$ — среднее значение сдвинутого ряда;

$s_t$ и $s_{t-L}$ — среднеквадратические отклонения исходного и сдвинутого ряда соответственно.

Временной лаг определяет порядок коэффициента автокорреляции. Например, если $L=1$, то получим коэффициент автокорреляции 1-го порядка $r_{t-L}$. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции, равный $n/4$.

Если рассчитать несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг $L^{\prime }$ при котором автокорреляция наиболее высокая, определив тем самым структуру временного ряда. Если наиболее высоким оказывается значение $r_{t,t-L^{\prime }}$, то исследуемый ряд содержит только тенденцию, а циклическая составляющая отсутствует.

Если наиболее высоким оказался $r_{t,t-L}$, то ряд, помимо тенденции, содержит циклические колебания с периодом $L$.

Последовательность коэффициентов автокорреляции называют автокорреляционной функцией $f\left(L\right)$ временного ряда. Она принимает максимальное значение, равное 1 при $L=0$ (ряд полностью коррелирован сам собой) и равное 0, когда исходный ряд и его сдвинутая копия не коррелированы.

Чем быстрее убывает автокорреляционная функция с ростом $L$, тем слабее автокорреляция, и наоборот.