Фильтр Ходрика-Прескотта (Hodrick–Prescott filter)

Синонимы: Разложение Ходрика–Прескотта, Декомпозиция Ходрика–Прескотта, Hodrick–Prescott decomposition, HP-filter

Разделы: Алгоритмы

Анализ временных рядов является важным элементом решения практических задач, связанных с прогнозированием различных бизнес-процессов. Одной из проблем здесь является «замусоренность» необработанных временных рядов краткосрочными колебаниями, отражающих локальные изменения, обусловленные в большинстве случаев воздействием случайных, малозначительных факторов.

Наличие такого «мусора» снижает качество и точность прогнозов, поэтому в анализе временных рядов актуальная задача сглаживания ряда с целью исключения краткосрочных колебаний и подчёркивания глобальных тенденций. Для этого используется фильтрация с применением фильтров различного типа. Одним из наиболее популярных является фильтр Ходрика–Прескотта. Впервые он был предложен британским математиком Э.Т. Уиттакером в 1923 году, но популяризирован экономистами Р. Ходриком и Э. Прескоттом в 1990-х гг.

Пусть $y_t,t=1,2,...,T$ — значения временного ряда. Временной ряд может быть разложен на трендовую ${\tau }_t$, циклическую $c_t$ и случайную ${\epsilon }_t$ компоненты:

$y_t={\tau }_t+c_t+{\epsilon }_t$

Работа фильтра Ходрика-Прескотта заключается в минимизации функционала следующего вида:

$\underset{\tau }{min}\left(\sum _{i=1}^t\right(y_t-{\tau }_t{)}^{{}^2}+\lambda \sum _{t=2}^{T-1}\left[\right({\tau }_{t+1}-{\tau }_t)-({\tau }_t-{\tau }_{t-1}\left){]}^2\right)$

Несложно увидеть, что первый член уравнения представляет собой сумму квадратов отклонений фактических значений ряда от тренда $d_t=y_t-{\tau }_t$, которое определяет циклическую составляющую. Второе слагаемое равно сумме квадратов вторых разностей компонентов тренда.

Коэффициент $\lambda$ — параметр фильтра, подбор которого позволяет получить оптимальное решение. Фактически, второй член уравнения вводит штраф за изменчивость трендовой составляющей, а параметр $\lambda$ изменяет размер этого штрафа.

Если $\lambda =0$, то результирующий ряд будет равен исходному. При устремлении параметра к бесконечности тренд стремится к линейному.

Подбор оптимального значения параметра для конкретного случая является отдельной задачей. Однако в литературе можно встретить некоторые практические рекомендации. Так, для ежемесячных данных используют значение $\lambda =14400$, для квартальных $\lambda =1600$, а для годовых $\lambda =100$.

Недостатками фильтра Ходрика-Прескотта являются:

• предполагается, что шум в данных имеет нормальное распределение;
• если ряд содержит выбросы и разрывы динамики роста, то фильтр может генерировать ложные изменения тренда.

В Loginom существует специализированный обработчик Сглаживание с использованием которого можно производить сглаживание временных рядов с помощью фильтра Ходрика-Прескотта.